§3  线性变换

一、基本概念

[线性变换]  设和是同一域F上的两个线性空间，映射满足下面两个条件：

(i) ，对任意;

(ii) ，对任意；

则称L为线性映射或线性变换，又称同态. 若与是同一线性空间，则称L为空间V到自身的线性变换，或称为自同态.

    例1  在一个线性空间V上的一个线性函数（见本节三）是V到域F（考虑为一维线性空间）的一个线性变换.

    例2  设是线性空间V上的线性函数，则由                 

所确定的映射是V到m维空间的一个线性变换.

    例3  设V是区间[a，b]上所有连续函数组成的实线性空间. 若令

则L就是V的一个线性变换. 事实上，因为对任意实数b，c，有     

    例4  设V为一切实系数多项式f（x）组成的线性空间. 若令

                  （为的导数）

则L是V的一个线性变换.

    [线性变换的性质]

    1^o线性变换定义中的条件(i)，(ii)等价于：对任意     

重复应用这公式，导出

    2^o若是线性无关的，是一个线性变换，则         

也是线性无关的.

    3^o若构成V的一个基底，又设，则唯一地存在一个线性变换L，使

[零变换·恒等变换·逆变换]  将线性空间V的任一矢量α都变为线性空间的零矢量的变换，称为零变换记作O. 即对任一，有

                     （为的零矢量）

将线性空间V中任一矢量α都变为自己的变换，称为恒等变换. 记作 I，即对任一，有       

零变换和恒等变换都是线性变换.

对的线性变换L，若存在上的线性变换M，使，则称M为L的逆变换，记作.

[线性变换的矩阵]  设是线性空间V的一组基底，是的基底，是线性变换，那末可表为       

由系数所组成的矩阵

称为线性变换L关于基{}和{}的矩阵.

特别，当V与的维数相同，或L是V自身的线性变换，则A为方阵.

在基底确定之后，线性变换和它的矩阵建立了一对一的对应关系. 零变换的矩阵是零矩阵，恒等变换的矩阵是单位矩阵.

    [线性变换的特征值与特征矢量]  如果存在，使得自同态满足

那末称为线性变换L的特征值（特征根），称为对应于的特征矢量.

一个线性变换的特征值与特征矢量分别等于该变换的矩阵的特征值与特征矢量.

[象·象源·核·线性变换的秩]  若是一个线性变换，则称为V的象，称V为象源，称为核. 的维数称为L的秩，的维数称为退化次数.

一个线性变换的核与象分别为V和的线性子空间，核的维数与象的维数之和等于象源的维数. 即             

一个线性变换的秩等于该变换的矩阵的秩.